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Los cinco sólidos Pitagoricos: asterion
Por asterion, hace 7 años y 6 meses

Los cinco sólidos Pitagoricos

Leido 71072 veces

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Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón, al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Wikipedia

solidos

Acá les dejo la interesante manera de comprobar matemáticamente que solo pueden existir 5 sólidos regulares.
Extraído del libro COSMOS de Carl Sagan.

Un polígono (que significa en griego «de muchos ángulos») regular es un figura bidimensional con un cierto numero n de lados iguales. Si n=3, el polígono es un triangulo equilátero; si n=4 es un cuadrado; si n=5 es un pentágono, etc. Un poliedro (que significa en griego «de muchas caras») es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados. Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los Pitagóricos y de Johannes Kepler es que solo hay y puede haber 5 sólidos regulares. Es interesante darse cuenta que Pitágoras no lo demostró tratando de armar en forma física todas las posibilidades sino matemáticamente. En este caso veremos la demostración mas fácil, que deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y Leonhard Euler que relaciona el numero de caras, C, el numero de aristas, A y el numero de vértices, V, de un sólido regular.

Lcsp01

En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C=6), 8 vértices (V=8), 8 – A + 6 = 2, 14 - A = 2,A= 12; La ecuación (2) predice que el cubo tiene 12 aristas, así es. Puede consultarse una demostración geométrica sencilla de la ecuación (2) en la obra de Courant y Robbins*. A partir de la ecuación (2) podemos demostrar que solo hay cinco sólidos regulares.
Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Imaginemos de nuevo el cubo en el cual cada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, nC, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto,

Lcsp02

Sea r el número de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r=3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértices, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista. Por lo tanto,

Lcsp03

Si sustituimos los valores de V y C de las ecuaciones (3) y (4), en la ecuación (2) obtenemos,

Lcsp04

Si dividimos ambos términos de esta ecuación por 2A, tendremos

Lcsp05

Sabemos que n es 3 o mas, porque el polígono mas simple es el triangulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3, el primer término de la ecuación (5) seria inferior a 2/3, y la ecuación no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n=3 y r vale 3 o mas, o bien r=3 y n vale 3 o mas.
Si n=3, la ecuación (5) se convierte en (1/3) + (1/r) = (1/2) + (1/A), o bien:

Lcsp06

Es decir, que en este caso r solo puede ser igual a 3, 4 o 5. (Si A valiese 6 o mas, la ecuación no se cumpliría.)
Ahora bien, n=3, r=3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. La ecuación (6) dice que este sólido tiene 6 aristas, la ecuación (3) que tiene 4 caras, la ecuación (4) que tiene 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; si n=3, r=4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual convergen en cada vértice 4 triángulos, el octaedro; si n=3, r=5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice, el icosaedro.
Si r=3, la ecuación (5) se convierte en:

Lcsp07

y utilizando argumentos semejantes n solo puede ser igual a 3, 4 o 5. Si n=3 tenemos de nuevo el tetraedro; si n=4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados, el cubo; si n=5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos, el dodecaedro.
No hay mas valores enteros posibles de n y r, y por lo tanto solo hay 5 sólidos regulares, conclusión deducida de la matemática mas abstracta bella, y que como hemos visto tuvo un impacto muy profundo sobre los asuntos prácticos de la humanidad.

* Courant, Ricard, y Robbins, Herbert, What is Mathematics? an Elementary Approach to Ideas and Methods, Nueva Cork, Oxford University Press, 1969.

11 comentarios

Gravatar #1. VICTOR MAR{IN
hace 7 años y 6 meses

EXELENTE INFORMACION PRIMERA VES QUE VICITO ESTA PAGINA Y ME PARECE QUE TIENE BUEN CONTENIDO SIMPLE Y UTIL

Gravatar #2. asterion
hace 7 años y 6 meses

Gracias, incluire pronto otro articulo de COSMOS llamado: Reducción al absurdo... nos vemos...

Gravatar #3. sandro
hace 7 años y 1 mes

no ps que no me dicen porque son llamados solidos pitagoricos
dicen mucha carreta
pero no explican que son

Gravatar #4. asterion
hace 7 años y 1 mes

Ok, gracias por tu critica, acabo de incluir una breve explicacion arriba.

Gravatar #5. yurle
hace 6 años y 9 meses

que orror no encontre nada, no que pena no es acto para ser una consulta completa.

Gravatar #6. CARMEN SANTELLAN
hace 6 años y 2 meses

la exposiciön es excelente; hay un pequeño error de escritura ; para obtener la ec cinco dices que dividdes por la segunda ecuacion y en realidad se divide entre el doble de A, perdón por la forma que escribí se me desconfiguró el teclado y no puedo escribir los números.

Gravatar #7. asterion
hace 6 años y 2 meses

Ya lo modifique, gracias por la observación Carmen.
Saludos

Gravatar #8. arlene aranda
hace 6 años

pongan todos los solidos faltan y no los encuentro por ningun lado.. grax

Gravatar #9. roox
hace 4 años y 5 meses

hola el amor duele
mas cuando lo
amas

Gravatar #10. asterion
hace 4 años y 5 meses

Si, el amor duele, pero, que tiene que ver con los solidos pitagoricos?

Gravatar #11. Paco
hace 3 años y 10 meses

Estaba dándole vueltas y creo que esto está mal:

1/r =1/A + 1/6
«Es decir, que en este caso r solo puede ser igual a 3, 4 o 5. (Si A valiese 6 o mas, la ecuación no se cumpliría.)»

Un valor de 6 para A no viola la ecuación, daría r=3
Creo que A es r, es decir (Si r valiese 6 o más, la ecuación no se cumpliría)»

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